Persiapan Matang Menuju Puncak: Contoh Soal UAS Matematika Kelas X Semester 2

Memasuki akhir semester genap, para siswa Kelas X dihadapkan pada tantangan akhir yang krusial: Ujian Akhir Semester (UAS). Matematika, sebagai salah satu mata pelajaran fundamental, seringkali menjadi momok sekaligus penentu kelancaran kenaikan tingkat. Memahami kisi-kisi dan berlatih dengan contoh soal adalah kunci utama untuk menghadapi UAS dengan percaya diri. Artikel ini akan mengupas tuntas berbagai jenis soal yang umum muncul dalam UAS Matematika Kelas X Semester 2, dilengkapi dengan pembahasan mendalam untuk membantu Anda mempersiapkan diri secara optimal.

Semester 2 Matematika Kelas X umumnya mencakup topik-topik penting seperti Fungsi Kuadrat, Fungsi Rasional, Trigonometri (Perbandingan Trigonometri, Identitas Trigonometri, dan Grafik Fungsi Trigonometri), serta Program Linear. Masing-masing topik ini memiliki karakteristik soal yang khas, dan menguasainya akan memberikan fondasi yang kuat untuk materi matematika di jenjang selanjutnya.

Mari kita bedah satu per satu contoh soal beserta pembahasannya:

Bagian 1: Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan salah satu topik sentral dalam Matematika Kelas X. Memahami karakteristik grafik parabola, titik puncak, titik potong sumbu, serta bagaimana menentukan persamaan fungsi kuadrat dari informasi yang diberikan adalah hal yang esensial.

Contoh Soal 1.1:
Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Tinggi bola, $h$ meter, setelah $t$ detik dirumuskan oleh $h(t) = -2t^2 + 12t + 1$. Tentukan tinggi maksimum yang dicapai bola dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum tersebut.

Pembahasan:
Fungsi $h(t) = -2t^2 + 12t + 1$ adalah fungsi kuadrat dalam bentuk $at^2 + bt + c$, dengan $a = -2$, $b = 12$, dan $c = 1$. Karena koefisien $a$ bernilai negatif ($a < 0$), grafik fungsi ini berbentuk parabola terbuka ke bawah, yang berarti memiliki nilai maksimum.

Titik puncak parabola $(t_p, h_p)$ mewakili waktu untuk mencapai tinggi maksimum ($t_p$) dan tinggi maksimum itu sendiri ($h_p$).

Koordinat $t$ dari titik puncak dihitung dengan rumus:
$t_p = frac-b2a$
$t_p = frac-122(-2)$
$t_p = frac-12-4$
$t_p = 3$ detik.

Untuk mencari tinggi maksimum ($h_p$), substitusikan $t_p = 3$ ke dalam rumus $h(t)$:
$h_p = h(3) = -2(3)^2 + 12(3) + 1$
$h_p = -2(9) + 36 + 1$
$h_p = -18 + 36 + 1$
$h_p = 19$ meter.

Jadi, tinggi maksimum yang dicapai bola adalah 19 meter, dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum tersebut adalah 3 detik.

Contoh Soal 1.2:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik $(1, -2)$, $(2, -3)$, dan $(4, -3)$.

Pembahasan:
Kita dapat menggunakan bentuk umum fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$.
Karena fungsi melalui ketiga titik tersebut, maka substitusikan koordinat setiap titik ke dalam persamaan umum:

1. Melalui $(1, -2)$:
   $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = -2$
   $a + b + c = -2$ (Persamaan 1)

2. Melalui $(2, -3)$:
   $f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = -3$
   $4a + 2b + c = -3$ (Persamaan 2)

3. Melalui $(4, -3)$:
   $f(4) = a(4)^2 + b(4) + c = -3$
   $16a + 4b + c = -3$ (Persamaan 3)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel tersebut.

Kurangi Persamaan 2 dengan Persamaan 1:
$(4a + 2b + c) – (a + b + c) = -3 – (-2)$
$3a + b = -1$ (Persamaan 4)

Kurangi Persamaan 3 dengan Persamaan 2:
$(16a + 4b + c) – (4a + 2b + c) = -3 – (-3)$
$12a + 2b = 0$
$6a + b = 0$ (Persamaan 5)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel (Persamaan 4 dan 5).
Kurangi Persamaan 5 dengan Persamaan 4:
$(6a + b) – (3a + b) = 0 – (-1)$
$3a = 1$
$a = frac13$

Substitusikan nilai $a = frac13$ ke Persamaan 5:
$6(frac13) + b = 0$
$2 + b = 0$
$b = -2$

Substitusikan nilai $a = frac13$ dan $b = -2$ ke Persamaan 1:
$frac13 + (-2) + c = -2$
$frac13 – 2 + c = -2$
$frac13 + c = 0$
$c = -frac13$

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah $f(x) = frac13x^2 – 2x – frac13$.

Bagian 2: Fungsi Rasional

Fungsi rasional melibatkan pembagian dua polinomial. Memahami konsep domain, kodomain, asimtot, dan cara menggambar grafiknya adalah fokus utama dalam topik ini.

Contoh Soal 2.1:
Diberikan fungsi rasional $f(x) = frac2x – 1x + 3$. Tentukan:
a. Domain fungsi $f(x)$.
b. Kodomain fungsi $f(x)$.
c. Persamaan asimtot tegak dan asimtot datar dari $f(x)$.

Pembahasan:
a. Domain: Domain suatu fungsi adalah himpunan semua nilai input (nilai $x$) yang membuat fungsi tersebut terdefinisi. Untuk fungsi rasional, penyebut tidak boleh bernilai nol.
$x + 3 neq 0$
$x neq -3$
Jadi, domain fungsi $f(x)$ adalah $ x in mathbbR, x neq -3$.

b. Kodomain: Kodomain adalah himpunan semua nilai output yang mungkin dihasilkan oleh fungsi. Untuk fungsi rasional $f(x) = fracax+bcx+d$, nilai $y$ yang tidak mungkin dicapai adalah ketika $y = fracac$. Dalam kasus ini, $a=2$ dan $c=1$.
Jadi, kodomain fungsi $f(x)$ adalah $ y in mathbbR, y neq 2$.

c. Asimtot:

• Asimtot Tegak: Terjadi ketika penyebut fungsi bernilai nol. Kita sudah menemukannya pada perhitungan domain.
  $x + 3 = 0 implies x = -3$.
  Jadi, persamaan asimtot tegak adalah $x = -3$.

• Asimtot Datar: Dilihat dari perbandingan koefisien variabel $x$ pada pembilang dan penyebut. Jika derajat pembilang sama dengan derajat penyebut, asimtot datarnya adalah $y = fractextkoefisien x text pembilangtextkoefisien x text penyebut$.
  $y = frac21 = 2$.
  Jadi, persamaan asimtot datar adalah $y = 2$.

Contoh Soal 2.2:
Sketsakan grafik fungsi rasional $f(x) = fracxx-1$. Tunjukkan asimtot tegak dan asimtot datarnya.

Pembahasan:

1. Domain: $x – 1 neq 0 implies x neq 1$. Domain: $ x in mathbbR, x neq 1$.
2. Kodomain: $y neq frac11 = 1$. Kodomain: $y $.
3. Asimtot Tegak: $x = 1$.
4. Asimtot Datar: $y = 1$.
5. Titik Potong Sumbu-y: Jika $x=0$, maka $f(0) = frac00-1 = 0$. Titik potong sumbu-y adalah $(0, 0)$.
6. Titik Potong Sumbu-x: Jika $f(x)=0$, maka $fracxx-1 = 0 implies x = 0$. Titik potong sumbu-x adalah $(0, 0)$.

Sketsa Grafik:

• Gambar garis asimtot tegak $x=1$ (garis vertikal putus-putus).
• Gambar garis asimtot datar $y=1$ (garis horizontal putus-putus).
• Titik $(0,0)$ adalah titik potong sumbu.
• Karena asimtot tegaknya di $x=1$ dan asimtot datarnya di $y=1$, serta fungsi melalui $(0,0)$, maka grafik akan mendekati asimtot tegak dari kiri dengan nilai $y$ yang semakin kecil (menuju $-infty$), dan mendekati asimtot datar dari kiri dengan nilai $y$ yang semakin mendekati 1 dari bawah.
• Untuk sisi kanan asimtot tegak, grafik akan mendekati asimtot tegak dari kanan dengan nilai $y$ yang semakin besar (menuju $+infty$), dan mendekati asimtot datar dari kanan dengan nilai $y$ yang semakin mendekati 1 dari atas.

Grafiknya akan membentuk dua cabang hiperbola yang dipisahkan oleh asimtot tegak, dan kedua cabang tersebut mendekati asimtot datar.

Bagian 3: Trigonometri

Topik trigonometri di semester 2 Kelas X biasanya mencakup pemahaman mendalam tentang perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, identitas trigonometri dasar, serta pengenalan grafik fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, dan tangen.

Contoh Soal 3.1:
Diketahui segitiga siku-siku ABC, dengan siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 8 cm dan panjang sisi BC = 6 cm, tentukan nilai dari:
a. $sin A$
b. $cos A$
c. $tan A$
d. $sin C$

Pembahasan:
Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring (hipotenusa) AC menggunakan teorema Pythagoras:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 8^2 + 6^2$
$AC^2 = 64 + 36$
$AC^2 = 100$
$AC = sqrt100 = 10$ cm.

Sekarang kita bisa menentukan perbandingan trigonometri:
a. $sin A = fractextsisi depan sudut Atextsisi miring = fracBCAC = frac610 = frac35$

b. $cos A = fractextsisi samping sudut Atextsisi miring = fracABAC = frac810 = frac45$

c. $tan A = fractextsisi depan sudut Atextsisi samping sudut A = fracBCAB = frac68 = frac34$

d. Untuk sudut C, sisi depannya adalah AB dan sisi sampingnya adalah BC.
$sin C = fractextsisi depan sudut Ctextsisi miring = fracABAC = frac810 = frac45$

Contoh Soal 3.2:
Buktikan identitas trigonometri berikut: $tan x + cot x = sec x csc x$.

Pembahasan:
Kita akan membuktikan identitas ini dengan mengubah salah satu sisi (biasanya sisi yang lebih kompleks) menjadi bentuk sisi lainnya menggunakan identitas dasar.
Kita tahu bahwa:
$tan x = fracsin xcos x$
$cot x = fraccos xsin x$
$sec x = frac1cos x$
$csc x = frac1sin x$

Mari kita ubah sisi kiri:
Sisi Kiri: $tan x + cot x$
$= fracsin xcos x + fraccos xsin x$
Samakan penyebutnya:
$= fracsin x cdot sin xcos x cdot sin x + fraccos x cdot cos xsin x cdot cos x$
$= fracsin^2 xsin x cos x + fraccos^2 xsin x cos x$
$= fracsin^2 x + cos^2 xsin x cos x$

Kita tahu identitas dasar $sin^2 x + cos^2 x = 1$. Substitusikan ini:
$= frac1sin x cos x$

Sekarang, mari kita lihat sisi kanan:
Sisi Kanan: $sec x csc x$
$= frac1cos x cdot frac1sin x$
$= frac1sin x cos x$

Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, maka identitas terbukti: $tan x + cot x = sec x csc x$.

Contoh Soal 3.3:
Gambarkan grafik fungsi $y = sin(2x)$ untuk interval $0^circ le x le 360^circ$.

Pembahasan:
Grafik dasar $y = sin x$ memiliki amplitudo 1, periode $360^circ$, dan memotong sumbu-x di $0^circ, 180^circ, 360^circ$.
Pada fungsi $y = sin(2x)$:

• Amplitudo: Tetap 1 (karena tidak ada pengali di depan $sin$).

• Periode: Pengali 2 di dalam fungsi $sin$ mempengaruhi periode. Periode baru = $fractextperiode aslik$, di mana $k$ adalah pengali $x$.
  Periode = $frac360^circ2 = 180^circ$.
  Ini berarti dalam interval $0^circ$ hingga $360^circ$, fungsi ini akan menyelesaikan dua siklus penuh.

• Titik-titik Penting dalam Satu Periode ($0^circ le x le 180^circ$):

  • $y = 0$ saat $2x = 0^circ, 180^circ, 360^circ implies x = 0^circ, 90^circ, 180^circ$.
  • $y = 1$ (maksimum) saat $2x = 90^circ implies x = 45^circ$.
  • $y = -1$ (minimum) saat $2x = 270^circ implies x = 135^circ$.

• Titik-titik Penting dalam Interval $0^circ le x le 360^circ$:
  Karena periodenya $180^circ$, maka dalam $0^circ – 360^circ$ akan ada dua siklus.
  Siklus pertama ($0^circ – 180^circ$): Memotong sumbu-x di $0^circ, 90^circ, 180^circ$; mencapai puncak di $45^circ$; mencapai lembah di $135^circ$.
  Siklus kedua ($180^circ – 360^circ$):

  • Memotong sumbu-x di $270^circ$ (karena $180^circ + 90^circ$).
  • Mencapai puncak di $225^circ$ (karena $180^circ + 45^circ$).
  • Mencapai lembah di $315^circ$ (karena $180^circ + 135^circ$).

Sketsa Grafik:
Grafik akan terlihat seperti gelombang sinus standar, tetapi lebih "ramping" atau lebih rapat. Dalam rentang $360^circ$, akan ada dua gelombang penuh.

Bagian 4: Program Linear

Program linear berkaitan dengan pencarian nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi tujuan, yang dibatasi oleh kendala-kendala yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear.

Contoh Soal 4.1:
Seorang pedagang akan menjual buah apel dan jeruk. Untuk pembelian pertama, pedagang tersebut membeli tidak kurang dari 50 kg buah apel dan tidak kurang dari 60 kg buah jeruk. Total pembelian buah tidak lebih dari 150 kg. Pendapatan rata-rata penjualan per kg apel adalah Rp 5.000,00 dan per kg jeruk adalah Rp 4.000,00. Tentukan jumlah apel dan jeruk yang harus dibeli agar pendapatan maksimum.

Pembahasan:
Misalkan:
$x$ = jumlah buah apel dalam kg
$y$ = jumlah buah jeruk dalam kg

Kendala-kendala yang ada:

1. Tidak kurang dari 50 kg apel: $x ge 50$
2. Tidak kurang dari 60 kg jeruk: $y ge 60$
3. Total pembelian tidak lebih dari 150 kg: $x + y le 150$

Fungsi tujuan (pendapatan) yang ingin dimaksimalkan adalah:
$P(x, y) = 5000x + 4000y$

Kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala di atas.

• Garis $x = 50$ (vertikal)
• Garis $y = 60$ (horizontal)
• Garis $x + y = 150$. Titik potongnya: jika $x=0, y=150$; jika $y=0, x=150$.

Perhatikan bahwa kendala $x ge 50$ dan $y ge 60$ secara otomatis membatasi daerah penyelesaian. Mari kita cari titik potong antara garis-garis tersebut yang memenuhi semua kendala.

Titik-titik pojok yang memenuhi adalah:

1. Irisan $x = 50$ dan $y = 60$: Titik A $(50, 60)$.
   Periksa apakah memenuhi $x+y le 150$: $50 + 60 = 110 le 150$. Ya, memenuhi.

2. Irisan $x = 50$ dan $x + y = 150$:
   $50 + y = 150 implies y = 100$. Titik B $(50, 100)$.
   Periksa apakah memenuhi $y ge 60$: $100 ge 60$. Ya, memenuhi.

3. Irisan $y = 60$ dan $x + y = 150$:
   $x + 60 = 150 implies x = 90$. Titik C $(90, 60)$.
   Periksa apakah memenuhi $x ge 50$: $90 ge 50$. Ya, memenuhi.

Sekarang, substitusikan koordinat titik-titik pojok ke dalam fungsi tujuan $P(x, y) = 5000x + 4000y$:

• Titik A $(50, 60)$:
  $P(50, 60) = 5000(50) + 4000(60) = 250000 + 240000 = 490000$.

• Titik B $(50, 100)$:
  $P(50, 100) = 5000(50) + 4000(100) = 250000 + 400000 = 650000$.

• Titik C $(90, 60)$:
  $P(90, 60) = 5000(90) + 4000(60) = 450000 + 240000 = 690000$.

Nilai pendapatan maksimum adalah Rp 690.000,00 yang dicapai ketika pedagang membeli 90 kg apel dan 60 kg jeruk.

Penutup

Menguasai materi dan berlatih soal-soal seperti contoh di atas akan sangat membantu Anda dalam menghadapi UAS Matematika Kelas X Semester 2. Jangan ragu untuk meminta bantuan guru atau teman jika ada materi yang belum dipahami. Ingatlah bahwa konsistensi dalam belajar adalah kunci keberhasilan. Dengan persiapan yang matang, Anda pasti dapat meraih hasil yang memuaskan. Selamat belajar dan semoga sukses!